Planck tes idées tu t'es planté

Subissez ici les jeux de mots laids, plantés, hideux, planquant le propos qui vient donc masqué.

À vent, propre eau

Ce billet fait suite aux précédents éléments de réflexion visant à démonter le Big Bang à partir de mon ignorance.

On pourrait rapidement qualifier l'entreprise de stupide car :

• je ne suis pas physicien, je n'ai donc pas les connaissances de base ni la maîtrise des outils me permettant de manipuler des modèles et d'interpréter des observations ;
• je n'ai pas de connaissance du sujet, sinon de manière excessivement générale et floue ;
• je n'ai pas de capacité particulière me permettant de manipuler des informations de manière à suppléer l'absence des points précédents.

Ce serait aller un peu vite en besogne, comme aime à le dire un ami Colombien, car l'expérience émergeant de ce processus n'est, elle, pas vide de sens, pas inutile, et le processus n'est donc pas du tout stupide.

Il suffit simplement de se rappeler que l'objectif annoncé est une formalisation qu'on sait ne pouvoir atteindre, tout en imaginant tout de même que ce soit possible, accidentellement, ce qui permet de pimenter l'affaire pour la rendre plus digeste.

Ces précautions prises, je continue.

Modèle et observations : la mésontente

Je rappelle que dans le billet précédent je vous avais convié à regarder et surtout à écouter cette vidéo ainsi que cet extrait pour donner de l'épaisseur au propos critiqué.

J'avais complété par cette vidéo en concluant que les observations ne sont pas toujours suffisantes pour contredire une théorie.

Je vous livre ici pourquoi.

Reprenons le propos d'Étienne Klein qui commente la théorie étudiée par Higgs qui a pour conclusion que les particules élémentaires n'ont pas de masse alors que les observations scientifiques montrent d'évidence le contraire : les particules élémentaires ont une masse non nulle. Si j'ai bien compris, Higgs postule alors quelques modifications structurelles sur notre univers, et permet ainsi d'asseoir sa conclusion plutôt que de s'asseoir dessus.

Formulé autrement : un désaccord apparent entre le modèle et les observations peut être résolu sans jeter ni le modèle ni les observations, mais en étendant le modèle et les observations. Ici, cela consiste à étendre le modèle et à définir les objets théoriques manipulés par le modèle d'une manière différente de la précédente, pour pouvoir les confondre avec les objets observés et les faire rentrer dans le rang des observations déjà réalisées. Par ailleurs, il conviendra de valider cette extension par une observation spécifique.

Ce qui a été fait. Du coup, les observations qui contredisaient la théorie n'ont pas invalidé celle-ci.

Or, un peu de logique va nous surprendre ici :

Si l'assertion suivante : « une observation qui contredit une théorie implique que la théorie est fausse » est fausse, alors sa contraposée est fausse également puisqu'elles sont équivalentes. Formulons la contraposée fausse : « une théorie juste implique qu'il n'y a pas d'observation qui la contredise ». C'est chiant, hein ?

On affirme ici que si une théorie est juste alors il existe des observations qui la contredisent. Ça a l'air si louche que le problème est probablement dans l'énoncé ou dans sa manipulation. Cherchons le problème. Si on ne trouve pas de problème, cela nous laissera dans l'état que soit il n'y a pas de problème, mais absence de preuve n'est pas preuve d'absence, et qu'on interprète cette faillite de quête comme le sursis indéfini de sa probable réussite, autrement dit, nous n'avons pas assez cherché et nous décidons de croire en l'existence du problème, ou bien nous décidons que le travail de recherche est raisonnablement complet, suffisament pour décider d'envisager l'hypothèse que le problème n'existe pas et de voir ce qui en découle. On sera face à une proposition indécidable, mais on voit qu'on peut décider, il suffit de le faire. On n'aura pas raison sans concession : on ajoutera une statue au panthéon de nos axiomes.

Comme je n'ai pas envie de remuer ciel et terre, j'ai pas le temps, je vais choisir deux pistes.

La première est que la formulation utilisée est le problème, et la manipulation verbale n'est pas la transcription exacte des équivalents logiques manipulés. En gros, nous avons traduit notre langage en une assertion dans le monde de la logique, puis nous avons opéré dans ce monde, pour enfin revenir dans le monde du langage. Le problème réside dans ces transcriptions en série.

La deuxième est que la formulation initiale est erronée, elle ne décrit pas la réalité, et toutes ses manipulations successives ne la décriront pas mieux, qu'elles s'avèrent juste ou pas en apparence, elles sont mal fondées.

À la poursuite... et vlan !

Concernant la première piste, c'est assez simple. Qu'est-ce que le contraire d'une théorie fausse ?

Est-ce une théorie vraie ? Et bien non.

La négation de quelque chose n'est pas une opération triviale si on ne définit pas précisément ce qu'est le quelque chose et ce qu'est sa négation.

Or, là, c'est du grand n'importe quoi.

Premier point de vue : binaire.

Une théorie est soit vraie soit fausse. Si elle n'est ni l'un ni l'autre, alors elle n'existe pas.

Le contraire d'une théorie vraie est une théorie fausse, et inversement.

C'est un point de vue simple, et bien pratique donc couramment utilisé. J'en use et Jean n'abuse.

Sauf que c'est du pipeau. Du gros pipeau. Ainsi :

« Dieu existe » est ma théorie. Soit c'est vrai, soit c'est faux, et, si ce n'est ni l'un ni l'autre, ma théorie n'existe pas.

Or cette proposition est indécidable. On peut la trancher, mais pas de manière logique, seulement par l'extension de nos hypothèses, via le placard de la croyance. On a tous un petit placard de la croyance dans lequel on range nos préjugés et autres objets indéracinables de notre lopin de terre de la pensée.

Comme elle est indécidable, elle n'existe pas. N'existant pas, elle est impropre à l'application de règles logiques, et s'y risquer, c'est sophistiqué et toqué : autant le retoquer, tac !

Et j'apprends en écrivant ce texte, l'exisence de la logique intuitionniste qui semble répondre à ce besoin : soit P ma proposition, P ou non-P n'est pas nécessairement vraie, alors que c'est le cas en logique classique (qui est la même chose que mon point de vue binaire).

Deuxième point de vue : ensembliste et complémentaire.

Une théorie fait partie de l'ensemble des théories. Dans l'ensemble des théories, il y a toutes les théories.

On peut qualifier une théorie, c'est-à-dire lui appliquer un qualificatif. Les qualificatifs font partie de l'ensemble des qualificatifs qui les contient tous.

Une théorie qualifiée reste une théorie, et l'application d'un qualificatif est en fait neutre pour la théorie qui reste inchangée dans l'ensemble des théories. Tout qualificatif est élément neutre de la qualification d'une théorie depuis les ensembles de théories et des qualificatifs vers l'ensemble des théories.

On en déduit par exemple qu'une théorie qualifiée de vraie est identique à la même théorie qualifiée de fausse. On peut l'écrire ainsi : théorie vraie = théorie fausse.

On cherche à définir la négation logique d'une théorie.

Pour toute théorie de l'ensemble des théories, on peut définir l'ensemble des théories qui ne sont pas la théorie initialement considérée. Il s'agit de l'ensemble de toutes les théories auquel on a retiré la théorie à négativer.

On peut définir que la négation de la théorie est "tout ce qui n'est pas la théorie" dans l'ensemble des théories, et que donc non(théorie) n'est pas une théorie, mais un sous-ensemble de l'ensemble de toutes les théories égal à cet ensemble auquel on soustrait le singleton contenant la théorie.

Cette négation de la théorie n'est pas une négation logique. Cette voie ne permet pas de constuire une négation de théorie qui donnerait une autre théorie.

Troisième point de vue : légiférer

On veut définir ce qu'est une théorie, puis tenter de créer l'opération de négation de celle-ci.

On va limiter le champ des théories considérées à celles dont il est possible de donner une expression uniquement mathématique. Ainsi, une théorie est un ensemble de propositions mathématiques. Cela pose le problème du lien entre la théorie et le réel, mais ce problème existe pour tout modèle. De ce fait, il n'est spécifique à aucune théorie. On peut imaginer que ce problème puisse être parfois résolu et parfois non, voire jamais, voire toujours. Je choisis de l'écarter car je ne vois pas comment déterminer qu'un concept est réel. Je peux seulement imaginer le principe qu'une théorie permet de calculer des résultats à partir d'entrants. Le modèle traite les entrants et fournit le résultat. Il reste ensuite à vérifier la conformité du résultat avec le réel, opération qui est réalisée en dehors du modèle. Cette partie n'est donc pas intégrée à la théorie. Il s'agit d'une validation externe.

Ayant écarté ce problème, intéressons-nous à la définition d'une théorie sous forme mathématique.

Comme je ne suis pas mathématicien, en plus de ne pas être physicien, je vais m'autoriser encore plus de flou. Je pars du principe qu'une théorie est un ensemble de proposition mathématiques. Une proposition mathématique est soit vraie, soit fausse. Une théorie est vraie si toutes les propositions qui la constituent sont vraies. Une théorie est fausse si au moins une des propositions qui la constituent n'est pas vraie.

Une lecture rapide de Wikipédia me fait maladroitement entrevoir que le calcul propositionnel existe peut-être indépendamment de la logique choisie pour opérer les calculs, et que mon point de vue premier, binaire, est réalisé avec la logique classique.

De même ici, il serait donc logique de choisir de manipuler les propositions avec une forme de logique paramétrable.

J'ai choisi la définition précédente "n'est pas vraie" car elle implique que la proposition n'est pas vraie, mais pas forcément qu'elle soit fausse. Ce constat sur les propositions permet de ramener la théorie dans le monde de la logique classique avec la propriété suivante : la théorie est nécessairement vraie ou bien fausse, en fonction de l'évalution de ses propositions constituantes dont l'évalution pourra être réalisée dans la logique non classique au besoin.

J'ai l'impression que c'est cohérent, mais ça reste flou.

Admettons que ce ne soit pas faux, au sens de la logique classique, on n'obtient de toute façon toujours pas de théorie négativée.

En fait la limite est que la manipulation logique est réalisée sur les propositions en tant qu'objets et non pas sur leur contenu, et établir la théorie négativée consiste à énoncer les propositions correspondant à cette théorie, donc à accéder au contenu, ce que la manipulation logique du calcul propositionnel ne permet pas. Aïe.

J'imaginais, en débutant ce troisième point de vue, pouvoir transformer toute proposition mathématique en une proposition mathématique négativée.

Exemple : ∀ n ∈ ℕ, ∃ m ∈ ℕ, m > n.

La proposition négativée serait : ¬(∀ n ∈ ℕ), ¬(∃ m ∈ ℕ), ¬(m > n.) ⇔ ∃ n ∈ ℕ, ∀m ∈ ℕ, m ≤ n.

Elle existe, elle est unique (enfin, je crois), et si toutes les propositions fonctionnent ainsi, on peut négativer une théorie faite de propositions à laquelle on fera correspondre la théorie dont toutes les propositions ont été négativées.

Cette construction permet de bien voir qu'entre la théorie et sa version négativée, il existe tout un ensemble de théories composites. Prouver la théorie négativée est bien plus ambitieux que prouver que la théorie n'est pas vraie, puisque la théorie négativée est la réunion de l'ensemble des propositions négativées, tandis qu'il suffit de réfuter une seule proposition d'origine pour établir que la théorie est fausse, sans pour autant prouver la théorie négativée (sauf dans les cas particuliers ou les deux théories - la composite et la négativée - sont équivalentes. Exemple : cas trivial d'une théorie à une seule proposition).

L'aveu tuera

Bon, ben j'ai atteint ma limite d'incompétence, et je m'aperçois que je n'ai pas percé le mystère de la négation propositionnelle, mais au moins j'ai découvert que c'est joli à dire. Ça envoie du lourd ça : « En calcul propositionnel, j'ai toujours considéré que la logique intuitive était plus apte à rendre compte du problème d'indécidabilité que la logique classique ». Rares sont ceux qui comprendront, Soyons fat, Soyons gras, Disons n'importe quoi.

Même pas besoin de parcourir la deuxième piste. Fatigué.